Question

帮忙做做这道数学题，请用高二的知识回答（谢）

已知圆满足（1）截y轴的弦长为2。（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1。
求：此圆的圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程。
我只知道了 圆弧比为1的那边的圆心角为90度 然后就不知道怎么做了。。 （过程 谢谢）

Answer 1

(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2
x=0时,y=y0±√(r^2-x0^2),|y1-y2|=2√(r^2-x0^2)=2
∴r^2-x0^2=1 （1）
弧长之比为3:1
∴|r/y0|=√2
r^2=2y0^2
结合(1) 2y0^2-x0^2=1 （2）
圆心的轨迹方程为2y^2-x^2=1,为双曲线
设与l平行且与双曲线相切的直线为x-2y=a （3）
将(3)代入(2) 整理得2y^2+4ay+a^2+1=0
判别式=16a^2-4*2*(a^2+1)=8a^2-8=0
a=±1
切点即可求出
a=1时 2y^2+4y+2=0 y=-1 代入(3)得x=-1
a=-1时 同理可得y=1,x=1
r=√2|y0|=√2
x0=±1，y0=±1
∴圆方程为(x±1)^2+(y±1)^2=2

Answer 2

x-2y=0