Question

按（x-4）的幂展开多项式f（x）=x^4-5x^3+x^2-3x+4

Answer 1

-56+21(x-4)+37(x-4)^2+11(x-4)^3+(x-4)^4。

分析过程如下：

将f(x)=x^4-5x^3+x^2-3x+4按X-4的乘幂展开:先求出各阶导数。

f'(x)=4x^3-15x^2+2x-3.

f''(x)=12x^2-30x+2.

f'''(x)=24x-30 

f''''(x)=24.

f'''''(x)=0

再求出下列数据:f(4)=-56,f'(4)=21,f''(4)=74,f'''(4)=66,f''''(4)=24 

于是f(x)=x^4-5x^3+x^2-3x+4 

=-56+21(x-4)+(74/2!)(x-4)^2+(66/3!)(x-4)^3+(24/4!)(x-4)^4 

=-56+21(x-4)+37(x-4)^2+11(x-4)^3+(x-4)^4

扩展资料：

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

Answer 2

将f(x)在x＝4处，用泰勒公式展开

 

过程如下图：

 

追问

公式中不是我有个R（n）？

公式中的那个符号怎么确定？

追答

从5阶导数开始，后面的高阶导数都＝0
所以，这个展开是无误差展开
因此，就没有余项，也就是R(n)

追问

也就是说 如果不是n次可导的都是无误差展开？

追答

是的，只有存在n阶导数，才有余项R(n)