Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF 交BC于点F，且DE⊥DF，过A作AG

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF 交BC于点F，且DE⊥DF，过A作AG ∥ BC交FD的延长线于点G．（1）求证：AG=BF；（2）若AE=9，BF=18，求线段EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵D是AB的中点， ∴AD=BD． ∵AG ∥ BC， ∴∠GAD=∠FBD． ∵∠ADG=∠BDF，（3分） ∴△ADG≌△BDF．（4分） ∴AG=BF． （2）连接EG， ∵△ADG≌△BDF， ∴GD=FD． ∵DE⊥DF， ∴EG=EF．（6分） ∵AG ∥ BC，∠ACB=90°， ∴∠EAG=90°．（7分） 在Rt△EAG中， ∵EG 2 =AE 2 +AG 2 =AE 2 +BF 2 ∴EF 2 =AE 2 +BF 2 且AE=9，BF=18．（9分） ∴EF=9 5 ．（10分）