Question

已知△ABC中，（b+a）（sinB-sinA）=asinB，又cos2C+cosC=1-cos（A-B）．（I）试判断△ABC的形状；（II）

已知△ABC中，（b+a）（sinB-sinA）=asinB，又cos2C+cosC=1-cos（A-B）．（I）试判断△ABC的形状；（II）求cosC的值．

Answer 1

（Ⅰ）由cos2C+cosC=1-cos（A-B）
得cosC+cos（A-B）=1-cos2C，cos（A-B）-cos（A+B）=2sin²C，
即sinAsinB=sin²C，根据正弦定理，ab=c²，①，
又由正弦定理及（b+a）（sinB-sinA）=asinB可知b²-a²=ab，②，由①②得b²=a²+c²，
所以△ABC是直角三角形，且B=90°；
（Ⅱ）∵A+C=90°，∴sin²C=sinAsinB=sinA=cosC，
从而cos²C+cosC-1=0，解得cosC＝

?1+ 5

2

或cosC＝

?1? 5

2

（舍去），
即cosC＝

?1+ 5

2

．