Question

已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为A（2，3），C（n，-3）（其中n＞0），点B

已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为A（2，3），C（n，-3）（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O-A-B-C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形． （1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=______；（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，①求此抛物线W的解析式；②若点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）根据图中得出： 当P点运动到A点时，△POC的面积为12， ∴AO= 2 2 + 3 2 = 13 ， ∴m= 13 ， 故答案为： 13 ； （2）∵图1中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为D（m，12）， ∴y E =y D =12，此时图2中点P运动到与点B重合， ∵点B在x轴的正半轴上， ∴S △BOC = 1 2 ×OB×| y C | = 1 2 ×OB×3=12． 解得OB=8，点B的坐标为（8，0）． 此时作AM⊥OB于点M，CN⊥OB于点N． （如图2）． ∵点C的坐标为C（n，-3）， ∴点C在直线y=-3上． 又∵由图1中四边形ODEF是等腰梯形可知图2中的点C在过点O与AB平行的直线l上， ∴点C是直线y=-3与直线l的交点，且∠ABM=∠CON． 又∵|y A |=|y C |=3，即AM=CN， 可得△ABM≌△CON． ∴ON=BM=6，点C的坐标为C（6，-3）． ∵图2中AB= A M 2 +B M 2 = 3 2 + 6 2 = 3 5 ． ∴图1中DE= 3 5 ，OF=2x D +DE= 2 13 +3 5 ． （3）①当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，作PG⊥OB于点G． （如图3） ∵O，B两点的坐标分别为O（0，0），B（8，0）， ∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4．由tan∠ABM= AM BM = 3 6 = PG BG 可得PG=2． ∴点P的坐标为P（4，2）， 设抛物线W的解析式为y=ax（x-8）（a≠0）． ∵抛物线过点P（4，2）， ∴4a（4-8）=2． 解得a= - 1 8 ． ∴抛物线W的解析式为y= - 1 8 x 2 +x． ②如图4． i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的边时， ∵点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，点P为抛物线W的顶点， 结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况，点Q与原点重合，其坐标为Q 1 （0，0）． ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时，可知BP的中点的坐标为（6，1），BP的中垂线的解析式为y=2x-11． ∴点Q 2 的横坐标是方程 - 1 8 x 2 +x=2x-11的解． 将该方程整理得x 2 +8x-88=0． 解得x=-4± 2 26 ． 由点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，结合图4可知点Q 2 的横坐标为 2 26 -4． ∴点Q 2 的坐标是Q 2 （ 2 26 -4， 4 26 -19）． 综上所述，符合题意的点Q的坐标是Q 1 （0，0），Q 2 （ 2 26 -4， 4 26 -19）．