已知:在如图1所示的平面直角坐标系xOy中,A,C两点的坐标分别为A(2,3),C(n,-3)(其中n>0),点B

已知:在如图1所示的平面直角坐标系xOy中,A,C两点的坐标分别为A(2,3),C(n,-3)(其中n>0),点B在x轴的正半轴上.动点P从点O出发,在四边形OABC的边... 已知:在如图1所示的平面直角坐标系xOy中,A,C两点的坐标分别为A(2,3),C(n,-3)(其中n>0),点B在x轴的正半轴上.动点P从点O出发,在四边形OABC的边上依次沿O-A-B-C的顺序向点C移动,当点P与点C重合时停止运动.设点P移动的路径的长为l,△POC的面积为S,S与l的函数关系的图象如图2所示,其中四边形ODEF是等腰梯形. (1)结合以上信息及图2填空:图2中的m=______;(2)求B,C两点的坐标及图2中OF的长;(3)在图1中,当动点P恰为经过O,B两点的抛物线W的顶点时,①求此抛物线W的解析式;②若点Q在直线y=-1上方的抛物线W上,坐标平面内另有一点R,满足以B,P,Q,R四点为顶点的四边形是菱形,求点Q的坐标. 展开
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韩晓柒2332
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(1)根据图中得出:
当P点运动到A点时,△POC的面积为12,
∴AO=
2 2 + 3 2
=
13

∴m=
13

故答案为:
13


(2)∵图1中四边形ODEF是等腰梯形,点D的坐标为D(m,12),
∴y E =y D =12,此时图2中点P运动到与点B重合,
∵点B在x轴的正半轴上,
∴S △BOC =
1
2
×OB×| y C |
=
1
2
×OB×3=12.
解得OB=8,点B的坐标为(8,0).
此时作AM⊥OB于点M,CN⊥OB于点N.
(如图2).
∵点C的坐标为C(n,-3),
∴点C在直线y=-3上.
又∵由图1中四边形ODEF是等腰梯形可知图2中的点C在过点O与AB平行的直线l上,
∴点C是直线y=-3与直线l的交点,且∠ABM=∠CON.
又∵|y A |=|y C |=3,即AM=CN,
可得△ABM≌△CON.
∴ON=BM=6,点C的坐标为C(6,-3).
∵图2中AB=
A M 2 +B M 2
=
3 2 + 6 2
= 3
5

∴图1中DE= 3
5
,OF=2x D +DE= 2
13
+3
5


(3)①当点P恰为经过O,B两点的抛物线的顶点时,作PG⊥OB于点G.
(如图3)
∵O,B两点的坐标分别为O(0,0),B(8,0),
∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4,即OG=BG=4.由tan∠ABM=
AM
BM
=
3
6
=
PG
BG
可得PG=2.
∴点P的坐标为P(4,2),
设抛物线W的解析式为y=ax(x-8)(a≠0).
∵抛物线过点P(4,2),
∴4a(4-8)=2.
解得a= -
1
8

∴抛物线W的解析式为y= -
1
8
x 2
+x.
②如图4.
i)当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱形的边时,
∵点Q在直线y=-1上方的抛物线W上,点P为抛物线W的顶点,
结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况,点Q与原点重合,其坐标为Q 1 (0,0).
ii)当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱形的对角线时,可知BP的中点的坐标为(6,1),BP的中垂线的解析式为y=2x-11.
∴点Q 2 的横坐标是方程 -
1
8
x 2
+x=2x-11的解.
将该方程整理得x 2 +8x-88=0.
解得x=-4± 2
26

由点Q在直线y=-1上方的抛物线W上,结合图4可知点Q 2 的横坐标为 2
26
-4.
∴点Q 2 的坐标是Q 2 2
26
-4, 4
26
-19).
综上所述,符合题意的点Q的坐标是Q 1 (0,0),Q 2 2
26
-4, 4
26
-19).
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