Question

若抛物线y 2 ＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．

若抛物线y 2 ＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．

Answer 1

y 2 ＝－4x，M(－9,6)或M(－9，－6)

本题考查抛物线的几何性质，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件。 （1）（1）抛物线的开口向右，焦点在x轴的正半轴上，故可求焦点F坐标； （2）利用点A（-2，3）到抛物线y 2 =2px（p＞0）焦点F的距离为5，从而 利用定义故可求出抛物线的方程． 解：由抛物线定义知焦点为F(－ ，0)，准线为x＝ ， 由题意设M到准线的距离为|MN|， 则|MN|＝|MF|＝10， 即 －(－9)＝10， ∴p＝2.故抛物线方程为y 2 ＝－4x，将M(－9，y)代入y 2 ＝－4x，解得y＝±6， ∴M(－9,6)或M(－9，－6)．