Question

如图，设F是椭圆：C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为

如图，设F是椭圆：C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM=∠BFN；（3）（理）求三角形ABF面积的最大值．

Answer 1

（1）∵线段MN为椭圆的长轴，且|MN|=8，∴a=4
∵|PM|=2|MF|，
∴

a2

c

-a=2（a-c）
∴a²-ac=2ac-2c²，
∴2e²-3e+1=0，
解得e=

1

2

或e=1（舍去）
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFM=0，满足题意．
当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得
（3m²+4）y²-48my+144=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2＝

48m

3m2+4

，y1y2＝

144

3m2+4

，
∴K_AF+K_BF=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

＝

y1

my1?6

+

y2

my2?6

=

2my1y2?6(y1+y2)

(my1?6)(m y   2 ?6)

=

288m 3m2+4 ? 288m 3m2+4

(my1?6)(my2?6)

=0
∴K_AF+K_BF=0，从而∠AFM=∠BFN  综上可知，恒有∠AFM=∠BFN．
（3）（理）∵P（-8，0），F（-2，0），∴|PF|=6，
∴|y₂-y₁|=

(y1+y2) 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2023-02-02 如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别是F1,F2,其右准线l与x轴的交点为T, 1 2013-12-15 设椭圆C:X2/a2+Y2/b2=1的右焦点为F，过F的直线L与椭圆C相交于A，B两点，直线L倾斜 30 2011-01-18 设椭圆x2/a2+y2/b2=1的左焦点F,上顶点A,过A作与AF垂直的直线交椭圆与 6 2016-06-28 设A.F分别椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P， 8 2012-12-23 如图，从椭圆X2/a2﹢Y2/b2＝1(a>b>0)上一点M向X轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1， 34 2016-01-27 已知椭圆C： x 2 2 +y 2 =1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若 1 2016-12-01 如图，设F（-c，0）是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，直线l：x=-a2c与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴， 3 2016-10-10 设F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴， 2 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式