Question

已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），其中a为常数．（小）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；

已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），其中a为常数．（小）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[i，2]，在x=i处取得最大值，求正数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f(x)＝

x

2

(ax?3)=ax³-3x²，∴f′（x）=3ax²-6x，
∵x=l是函数f（x）的一4极值点，∴f′（1）=d，
解得，a=2，此时f′（x）=6（x²-x）=6x（x-1），
∴当x∈（d，1）时，f′（x）＜d，当x∈（-∞，d），（1，+∞）时，f′（x）＞d，
∴a=2．
（2）由题意得4（x）=f（x）+f′（x）=ax³+3（a-1）x²-6x，a＞d且x∈[d，2]，
∴4′（x）=3ax²+6（a-1）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，
令4′（x）=d，即ax²+2（a-1）x-2=d，
且△=4（a-1）²+8a=4a²+4＞d，
∴方程ax²+2（a-1）x-2=d有两4不同的根，设为x₁，x₂，则
x₁x₂=-

2

a

＜d，不妨设x₁＜d＜x₂，
当d＜x₂＜2时，4（x₂）为极小值，则4（x）在[d，2]上的最大值只能为4（d）或4（2）；
当x₂≥2时，则4（x）在[d，2]上是单调减函数，
∴4（x）在[d，2]上的最大值只能为4（d），
综上得，4（x）在[d，2]上的最大值只能为4（d）或4（2）；
∵4（x）在x=d处取得最大值，∴4（d）≥4（2），
即d≥2da-24，得a≤

6

5

，
∵a＞d，∴a∈（d，

6

5

]．