Question

已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx（1）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当a＞12时，求函数f（x

已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx（1）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当a＞12时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，
令f′(x)＝

2x2?3x+1

x

＞0，解得x＞1或x＜

1

2

．
则函数f（x）的单调增区间为(0，

1

2

)，(1，+∞)
（2）f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，
令f′(x)＝2x?(2a+1)+

a

x

＝

2x2?(2a+1)x+a

x

＝

(2x?1)(x?a)

x

＝0
①当

1

2

＜a≤1，x∈[1，e]，f'（x）＞0，f（x）单调增．f（x）_min=g（1）=-2a．
②当1＜a＜e，x∈（1，a），f'（x）＜0，f（x）单调减．，x∈（a，e），f'（x）＞0，f（x）单调增．f(x)min＝f(a)＝?a2?a+alna
③当a≥e，x∈[1，e]，f'（x）＜0，f（x）单调减，f(x)min＝f(e)＝e2?(2a+1)e+a
故函数f（x）在区间[1，e]上的最小值f(x)min＝

?2a， 1 2 ＜a≤1 ?a2?a+alna，1＜a＜e e2?(2a+1)e+a，a≥e