如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),A是x轴正半轴上的一个动点,M是线段AC的中点.把线段AM
如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),A是x轴正半轴上的一个动点,M是线段AC的中点.把线段AM进行以A为旋转中心、向顺时针方向旋转90°的旋转变换得到AB....
如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),A是x轴正半轴上的一个动点,M是线段AC的中点.把线段AM进行以A为旋转中心、向顺时针方向旋转90°的旋转变换得到AB.过B作x轴的垂线、过C作y轴的垂线,两直线交于D,直线DB交x轴于一点E.(1)求证:△AOC∽△BEA;(2)如果点A的横坐标为t,△BCD的面积为S,当t为何值时,S=6.25?(3)如果以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似,求此时点A的坐标.
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(1)证明:∵由题意得:∠CAB=90°,
∴∠OAC+∠BAE=90°,
又∵OC⊥OA,
∴∠OCA+∠OAC=90°,
∴∠BAE=∠OCA,
又∵∠COA=∠BEA=90°,
∴△OCA∽△EAB;
(2)∵△OCA∽△EAB,
∴
=
=
=
,
∴
=
=
,
∴AE=2,BE=
t,
∴CD=OE=OA+AE=t+2,DE=OC-BE=4-
t,
∴S=
CD?BD=
(t+2)(4-
t)=-
t2+
t+4,
∴S=-
t2+
t+4=6.25,
二次项系数化1,得:t2-6t+9=0,
解得:t1=t2=3,
∴当t=3时,S=6.25;
(3)∵∠BDC=∠AOC=90°,
∴当
=
,即
=
时,△BDC∽△AOC,
解得:t1=2
-2,t2=-2
-2(舍去);
当
=
,即
=
∴∠OAC+∠BAE=90°,
又∵OC⊥OA,
∴∠OCA+∠OAC=90°,
∴∠BAE=∠OCA,
又∵∠COA=∠BEA=90°,
∴△OCA∽△EAB;
(2)∵△OCA∽△EAB,
∴
OC |
AE |
OA |
BE |
AC |
AB |
2 |
1 |
∴
4 |
AE |
t |
BE |
2 |
1 |
∴AE=2,BE=
1 |
2 |
∴CD=OE=OA+AE=t+2,DE=OC-BE=4-
1 |
2 |
∴S=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
3 |
2 |
∴S=-
1 |
4 |
3 |
2 |
二次项系数化1,得:t2-6t+9=0,
解得:t1=t2=3,
∴当t=3时,S=6.25;
(3)∵∠BDC=∠AOC=90°,
∴当
CD |
OC |
DB |
OA |
t+2 |
4 |
4?
| ||
t |
解得:t1=2
5 |
5 |
当
BD |
OC |
CD |
OA |
4?
| ||
4 |