Question

如图，四边形ABCD，AB+BC=CD+DA，BP平分∠ABM，DP平分∠ADN，求证：∠APB=∠CPD

如图，四边形ABCD，AB+BC=CD+DA，BP平分∠ABM，DP平分∠ADN，求证：∠APB=∠CPD．

Answer 1

证明：延长CB至点M，使MB=AB； 延长CD，使ND=DA，分别连接PM及PN，
∵BP平分∠ABM，DP平分∠ADN，
∴∠PDN=∠PDA，∠PBA=∠PBM．
在△PMB和△PAB中，

PB＝PB ∠PBA＝∠MBP MB＝AB

，
∴△PMB≌△PBA（SAS），
∴∠BAP=∠BPM．
在△NPD和△PAD中，

DN＝DA ∠NDP＝∠ADP DP＝DP

，
∴△NPD≌△PAD（SAS），
∴∠APD=∠NPD，
∵AB+BC=CD+DA，
∴MC=NC．
在△PMC和△PNC中，

NP＝PM PC＝PC MC＝CN

，
∴△PMC≌△PNC（SSS），
∴PM=PN，∠NPC=∠MPC，
∴2∠APB+∠APC=2∠DPA-∠APC，
∴∠APC=∠DPA-∠APB，
∴∠DPC=∠DPA-∠APC=∠DPA-（∠DPA-∠APB）=∠APB．