Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求证：∠CEF=∠CFE

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求证：∠CEF=∠CFE．

Answer 1

证明：证法一：在Rt△AFC中，
∠CFA=90°-∠1（直角三角形两锐角互余）
同理在Rt△AED中，
∠AED=90°-∠2．
又∵AF平分∠CAB（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∴∠AED=∠CFE（等量代换）
又∵∠CEF=∠AED（对顶角相等）
∴∠CEF=∠CFE．

证法二：利用三角形外角定理证．
∵∠CEF=∠1+∠3（1），
∠CFE=∠B+∠2（2）（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
又∵∠3+∠ECF=90°，
∠B+∠FCE=90°（已知）
∴∠3=∠B．
由（1）、（2）可知∠CEF=∠CFE．（等量代换）