Question

已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，（1）求证：AP=EF．（2）若∠BAP=

已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，（1）求证：AP=EF．（2）若∠BAP=60°，PD=2，求EF的长．

Answer 1

解答：（1）证明：连接PC，
∵ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF=PC，
在△ABP和△CBP中，

AB＝BC ∠ABP＝∠CBP BP＝BP

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=CP，
∵EF=CP，
∴AP=EF．
（2）证明：∵由（1）知△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP=60°，
∴∠PCE=30°，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠PDE=45°，
∵PE⊥CD，
∴DE=PE，
∵PD=

2

，
∴PE=1，
∴PC=2PE=2，
∵由（1）知EF=PC，
∴EF=2．