Question

试确定A，B，C的值，使得ex（1+Bx+Cx2）=1+Ax+o（x3），其中o（x3）是当x→0时比x3高阶的无穷小

试确定A，B，C的值，使得ex（1+Bx+Cx2）=1+Ax+o（x3），其中o（x3）是当x→0时比x3高阶的无穷小．

Answer 1

利用皮亚诺型泰勒公式可得：
e^x=1+x+

x2

2

+

x3

6

+o（x³），
代入已知等式得：
[1+x+

x2

2

+

x3

6

+o（x³）]（1+bx+Cx²）=1+Ax+o（x³），
整理得：
1+（B+1）x+（C+B+

1

2

）x²+（

B

2

+C+

1

6

）+o（x³）=1+Ax+o（x³），
比较两边同次幂函数得：
B+1=A     ①
C+B+

1

2

=0   ②

B

2

+C+

1

6

=0 ③
式②-③得：

B

2

+

1

3

=0，
则：B=?

2

3

，
代入①得：A=

1

3

，
代入②得：C=

1

6

．
故：A=

1

3

，B=?

2

3

，C=

1

6

．