Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.（1）求证：FD2=FB•FC；（2）如果AC=6，BC=4，S△FBD=2，求S△FDC.

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Answer 1

（1）
证明：
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°=∠ACB
∴∠A+∠ACD=90°
∠BCD+∠ACD=90°
∴∠A=∠BCD
∵E是AC的中点
∴DE=AE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴∠A=∠ADE=∠BDF
∴∠BCD=∠BDF
又∵∠F=∠F
∴△FDC∽△FBD（AA）
∴FD/FB=FC/FD
∴FD²=FB·FC
（2）
解：
∵∠CDB=∠ADC=90°，∠DCB=∠A
∴△CDB∽△ADC（AA）
BD/CD=BC/AC=4/6=2/3
∵△FBD ∽△FDC
∴S△FBD/S△FDC=(BD/CD)²=4/9
S△FDC=9/4×2=9/2