Question

已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）?f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（

已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）?f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a+1）≤ 3 9 ，求a的取值范围．

Answer 1

（1）令y=-1，则f（-x）=f（x）?f（-1）， ∵f（-1）=1，∴f（-x）=f（x），且x∈R ∴f（x）为偶函数． （2）若x≥0，则f（x）= f( x ? x ) = f( x ) ? f( x ) =[ f( x ) ] 2 ≥0． 若存在x 0 ＞0，使得f（x 0 ）=0，则 f(27)=f( x 0 ? 27 x 0 )=f( x 0 )f( 27 x 0 )=0 ，与已知矛盾， ∴当x＞0时，f（x）＞0 设0≤x 1 ＜x 2 ，则0≤ x 1 x 2 ＜1， ∴f（x 1 ）= f( x 1 x 2 ? x 2 ) = f( x 1 x 2 ) ?f（x 2 ）， ∵当x≥0时f（x）≥0，且当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1． ∴0≤ f( x 1 x 2 ) ＜1， ∴f（x 1 ）＜f（x 2 ）， 故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数． （3）∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）?f（9）=f（3）?f（3）?f（3）=[f（3）] 3 ， ∴9=[f（3）] 3 ， ∴f（3）= 3 9 ， ∵f（a+1）≤ 3 9 ， ∴f（a+1）≤f（3）， ∵a≥0， ∴（a+1）∈[0，+∞），3∈[0，+∞）， ∵函数在[0，+∞）上是增函数． ∴a+1≤3，即a≤2， 又a≥0， 故0≤a≤2．