Question

如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点(不与A，B重合)，过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q

如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点(不与A，B重合)，过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．(1)在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)若cosB= ，BP=6，AP=1，求QC的长．

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Answer 1

（1）CD与⊙O相切．证明见解析；（2）QC= ．

试题分析：（1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线； （2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据余弦的定义得cosB，可计算出BC，在Rt△BPQ中，利用余弦的定义得cosB，可计算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC进行计算即可． 试题解析：（1）CD与⊙O相切．理由如下： 连结OC，如图， ∵OC=OB， ∴∠2=∠B， ∵DQ=DC， ∴∠1=∠Q， ∵QP⊥PB， ∴∠BPQ=90°， ∴∠Q+∠B=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°， ∴OC⊥CD， 而OC为⊙O的半径， ∴CD为⊙O的切线； （2）连接AC，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，cosB= ， 而BP=6，AP=1， ∴BC= ， 在Rt△BPQ中，cosB= ， ∴BQ=10， ∴QC=BQ﹣BC=10﹣ = ． ．

Answer 2

第二题解：连接A C因Cos 角B等于5分之三，所以 Q B等于10因为A B为直径，所以角A C B等于90度，因为考¥0.4 B等于5分之三所以A B等于7因为A B为直径，所以角A C B等于90度，因为靠试试角B等于5分之三所以A B等于7所以B C等于5分之21因为扣币因为靠试试角B等于5分之三所以A B等于7所以B C等于5分之21因为 Q B等于10所以Q C等于5分之29结论，所以Q C等于5分之29。