Question

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 a= 3 且 b sinB =2 ．

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 a= 3 且 b sinB =2 ．（1）求A的大小；（2）求 a 2 + b 2 - c 2 ab +2cosB 的取值范围．

Answer 1

（1）由正弦定理知 a sinA = b sinB =2 ，又 a= 3 ，∴ sinA= 3 2 ，又△ABC为锐角三角形，故 A= π 3 ． （2） a 2 + b 2 - c 2 ab +2cosB=2cosC+2cosB=2cos(π- π 3 -B)+2cosB = 2cos( 2π 3 -B)+2cosB=-cosB+ 3 sinB+2cosB = cosB+ 3 sinB=2sin( π 6 +B) ． 由于△ABC为锐角三角形，故有 0＜B＜ π 2 0＜π- π 3 -B＜ π 2 ，∴ π 6 ＜B＜ π 2 ， ∴ π 3 ＜ π 6 +B＜ 2π 3 ，∴ 3 2 ＜sin( π 6 +B)≤1 ，∴ 3 ＜2sin( π 6 +B)≤2 ， ∴ a 2 + b 2 - c 2 ab +2cosB 的取值范围是 ( 3 ，2] ．