Question

设f （x）是定义在[-1，1]上的偶函数，f （x）与g（x）的图象关于x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=a （

设f （x）是定义在[-1，1]上的偶函数，f （x）与g（x）的图象关于x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=a （x-2）-2 （x-2） 3 （a为常数）．（Ⅰ）求f （x）的解析式；（Ⅱ）若f （x）在[0，1]上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a∈（-6，6），问能否使f （x）的最大值为4？请说明理由．

Answer 1

（I）∵f（x）与g（x）的图象关于直线x=1对称， ∴f（x）=g（2-x）． ∴当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]， ∴f（x）=g（2-x）=-ax+2x 3 ． 又∵f（x）为偶函数， ∴x∈[[0，1]时，-x∈[-1，0]， ∴f（x）=f（-x）=ax-2x 3 ． ∴f（x）= -ax+2 x 3 (-1≤x≤0) ax-2 x 3 (0≤x≤1) ． （II）∵f（x）为[0，1]上的增函数， ∴f’（x）=a-6x 2 ≥0?a≥6x 2 在区间[0，1]上恒成立． ∵x∈[0，1]时，6x 2 ≤6 ∴a≥6，即a∈[6，+∞）． （III）由f（x）为偶函数，故只需考虑x∈[0，1]， 由f′（x）=0得x= a 6 ， 由f（ a 6 ）=4?a=6， 此时x=1， 当a∈（-6，6）时，f（x）的最大值不可能为4．