Question

如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于

如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?

Answer 1

找到BC的中点H，连接MH，NH．如图： ∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH= EC． ∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH= BD． ∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；（3分） ∵MH∥EC，∴∠HMN=∠PQA， 同理∠HNM=∠QPA． ∴△APQ为等腰三角形， ∴AP=AQ．（6分）

根据中位线定理证明MH=NH，进而证明∠HMN=∠HNM，∠HMN=∠PQA，所以△APQ为等腰三角形，即AP=AQ．