Question

已知函数f(x)＝x 3 ＋ax 2 ＋bx＋a 2 (a，b∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处有极值10，求b的值；(2)若对于任

已知函数f(x)＝x 3 ＋ax 2 ＋bx＋a 2 (a，b∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处有极值10，求b的值；(2)若对于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．

Answer 1

（1）b＝－11   （2）

解：(1)f′(x)＝3x 2 ＋2ax＋b， 于是，根据题设有 ， 解得 或 . 当 时，f′(x)＝3x 2 ＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点； 当 时，f′(x)＝3(x－1) 2 ≥0，所以函数无极值点． 所以b＝－11. (2)由题意知f′(x)＝3x 2 ＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立， 所以F(a)＝2xa＋3x 2 ＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立． 因为x≥0， 所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数， ①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0； ②当F(a)为增函数时，F(a) min ＝F(－4)＝－8x＋3x 2 ＋b≥0， 即b≥(－3x 2 ＋8x) max 对任意x∈[0,2]都成立， 又－3x 2 ＋8x＝－3(x－ ) 2 ＋ ≤ ， 所以当x＝ 时，(－3x 2 ＋8x) max ＝ ，所以b≥ . 所以b的最小值为 .