Question

已知函数f（x）=lnx-ax2-bx（a，b∈R），g（x）=2x?2x+1-lnx（I）当a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的

已知函数f（x）=lnx-ax2-bx（a，b∈R），g（x）=2x?2x+1-lnx（I）当a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，求b的取值范围；（II）设x1，x2是函数y=f（x）的两个零点，且x1＜x2求证2x1+x2＜a（x1+x2）+b．

Answer 1

（I）∵a=-1，∴f（x）=lnx+x²-bx
由题意可知，f（x）与g（x）的定义域均为（0，+∞）
∵g′（x）=

2(x+1)?(2x?2)

(x+1)2

?

1

x

4

(x+1)2

?

1

x

=

?x2+2x?1

x(x+1)2

=-

(x?1)2

x(x+1)2

≤ 0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减
又a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反
∴f（x）=lnx-ax²-bx在（0，+∞）上单调递增
∴f′（x）=

1

x

+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（

1

x

+2x）max，
∵x＞0∴

1

x

+2x≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时，等号成立）
∴b≤2

2

，∴b的取值范围（-∞，2

2

）；
（II）由已知可得

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