Question

（1）求级数∞n＝1n2xn的和函数；（2）求极限limn→∞（1+12+3223+…+n22n）

（1）求级数∞n＝1n2xn的和函数；（2）求极限limn→∞（1+12+3223+…+n22n）．

Answer 1

（1）因为n²=n（n-1）+n，故
S(x)＝

∞

n＝1

n2xn＝

∞

n＝2

n(n?1)xn+

∞

n＝1

nxn
=x2

∞

n＝2

n(n?1)xn?2+x

∞

n＝1

nxn?1
=x2(

∞

n＝1

xn)″+x(

∞

n＝1

xn)′
=x2(

1

1?x

)″+x(

x

1?x

)′
=

x(1+x)

(1?x)3

．
（2）利用（1）的结果可得，

lim

n→∞

(1+

1

2

+

32

23

+…+

n2

2n

)＝

∞

n＝1

n2

2n

＝S(

1

2

)＝6．