Question

根号下(1+X平方)的原函数

Answer 1

sqrt(1+x^2)=y （sqrt(x) 代表根号x）

首先,这个原函数是多对一函数,其强行求反函数会导致一对多.

但是如果忽略一个函数存在反函数的一个条件：一一对应，那么还是可以求出来的。

①确定原函数定义域和值域

先求1+x^2的范围,是[1,+∞]

故sqrt(1+x^2)的范围是[sqrt(1),sqrt(+∞))=[1,+∞]

x的范围是R.

②x,y互换，并提出y

sqrt(1+y^2)=x

两边平方,得 1+y^2=x^2

y=±sqrt(x^2-1)

此时不确定是正还是负，还是都可以

这时候看原函数的定义域（原函数的定义域就是反函数的值域）

原函数定义域为R,故±都可以取.

y=±sqrt(x^2-1)

此时观察x^2-1要满足>=0
=>x^2>=1
=>x>=1 or x<=-1

把这个解和原函数的值域取交集,得到x∈[1,+∞]

整理后：
y=±sqrt(x^2-1)
x∈[1,+∞]

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通法总结：

目的：已知一个函数，求其反函数。

①求定义域、值域

②x换成y,y换成x，若存在不确定正负号的，保留正负号

③提取出y放一边

④求出x的自然定义域,并与原函数的值域取交集，得到x的真实定义域

⑤通过原函数定义域来判断出现了正负号选择的时候，是正还是负还是全保留

总之，验证结果一定要满足：原函数和反函数 域严格对等互换

Answer 2

令x=tan(t),t∈(-pi/2,pi/2),则根号(1+x^2)=sec(t),
∫根号(1+x^2)dx
=∫sec(t)d(tan(t))-----(令此积分为I)
=tan(t)sec(t)-∫tan(t)d(sec(t))
=tan(t)sec(t)-∫tan(t)^2.sec(t)dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)[sec(t)^2-1]dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+∫sec(t)dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+ln[sec(t)+tan(t)]
=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]-I

所以2I=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]+C
I={tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]}/2+C
={x根号(1+x^2)+ln[根号(1+x^2)+x]}/2+C
不定积分I即为所求原函数.

Answer 3

什么意思，求反函数还是求不定积分
反：X2-1
不：y=±sqrt(x^2-1)