Question

已知F是抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA?OB=2（其中O为坐标原点），则△ABO与

已知F是抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA?OB=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是______．

Answer 1

设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB与x轴的交点为M（0，m），
x=ty+m代入y²=x，可得y²-ty-m=0，根据韦达定理有y₁?y₂=-m，
∵

OA

?

OB

=2，∴x₁?x₂+y₁?y₂=2，从而（y₁?y₂）²+y₁?y₂-2=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁?y₂=-2，故m=2．
不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，
又F（

1

4

，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=

1

2

×2×（y₁-y₂）+

1

2

×

1

4

y₁=

9

8

y₁+

2

y1

≥3
当且仅当

9

8

y₁=

2

y1

，即y₁=

4

3

时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，
故答案为：3．