Question

（2012?浙江模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD

（2012?浙江模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．

Answer 1

（本小题满分15分）
（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …（9分）
证法二：AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．
∵PA=PD，∴PQ⊥AD．
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．
∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）
解：（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为

n

＝(0，0，1)；
Q（0，0，0），P(0，0，

3

)，B(0，

3

，0)，C(?1，

3

，0)．
设M（x，y，z），则

PM

＝(x，y，z?

3

)，

MC

＝(?1?x，

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