Question

已知函数f（x）=x3+ax2-a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）对任意a≤-3，使得f（1）是函数f（x）

已知函数f（x）=x3+ax2-a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）对任意a≤-3，使得f（1）是函数f（x）的区间[1，b]（b＞1）上的最大值，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝3x2+2ax＝3x(x+

2

3

a)------------------------------------（2分）
当a=0，f'（x）≥0，函数递增区间是（-∞，+∞）
当a＞0，递增区间是(?∞，?

2

3

a)，(0，+∞)
当a＜0，递增区间是(?∞，0)，(?

2a

3

，+∞)-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ） 因为a≤-3，所以?

2

3

a≥2
所以无论?

2a

3

＜b，还是?

2a

3

≥b，只需f（1）≥f（b）就能使得f（1）是函数f（x）在区间[1，b]（b＞1）上的最大值，--------------------------------------------------------------------（8分）
化简得b³+ab²-a-1≤0
令g（a）=（b²-1）a+b³-1，∵b＞1，∴g（-3）=-3（b²-1）+b³-1≤0(b?1)(b2?2b?2)≤0，1＜b≤1+

3

所以b的取值范围是(1，1+

3

]．----------------------------------------（12分）