Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，点P是线段AB上一个动点，点E是CD的中

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，点P是线段AB上一个动点，点E是CD的中点，延长PE至F，使EF=PE．（1）判定四边形PCFD的形状；（2）当AP的长为何值时，四边形PCFD是矩形；（3）求四边形PCFD的周长的最小值．

Answer 1

（1）∵点E是CD的中点，即EC=DE，
又∵EF=PE，
∴四边形PCFD为平行四边形；

（2）设AP=x，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
∴x：4=1：（5-x）．解得x₁=1，x₂=4；
答；当AP的长为1或4时，四边形PCFD是矩形；

（3）延长DA到G，使AG=AD、当点G、P、C共线时CP+PD最小，最小值为GC
GC=PD+PC，
∵∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，
∴PD=

2

，PC=4

2

，
∴GC=5

2

．
∴四边形PCFD的周长的最小值为10

2

．