Question

抛物线问题

已知抛物线y∧2=2px，在x轴上是否存在一点M，使过M的任意直线l（x轴除外），与抛物线交于A，B两点，且总有∠AOB=90（O为坐标原点）。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说出理由

Answer 1

解：不妨设p＞0.抛物线y²=2px.(p＞0).数形结合可知，若点M(m,0)存在，则必有m＞0.可设点A(2pa²,2pa),B(2pb²,2pb).(a≠b).由A,M,B三点共线，应有2pab+m=0.又∠AOB=Rt∠.∴Koa×Kob=-1.===>ab=-1.===>m=2p.∴点M(2p,0).

Answer 2

设p＞0.抛物线y2=2px.（p＞0），若点M(m,0)存在，则必有m＞0.可设点A(2pa2,2pa),B(2pb2,2pb).(a≠b).由A,M,B三点共线，应有
（2pa-2pb）/(2pa2-2pb2)=（2pa-0）/ (2pa2-m）成立
经化解得2pab+m=0.①
又∠AOB=90°
∴Koa×Kob=-1.
==>ab=-1.带入①中
==>m=2p.
∴点M(2p,0).