Question

线性代数中的几个问题

已知A的特征值为-1，1，2∴A²+E的特征值为2,2,5，为什么？
秩特征向量之间到底有什么关系？
A的特征值为1/2，-1/2， 1/3,那么E+6A的特征值为4，-2,3 为什么？
一个3阶矩阵A。r（λ1E-A）=1，那么λ1对应2个线性无关的特征向量 为什么？

Answer 1

三个问题走起：

（1）若A的特征值为λ，则f(A)的特征值的f(λ)。这个是个重要结论，可以通过定义Aξ = λξ证明。
设f(A) =A²+E，那么f(λ) = λ²+1,于是A²+E的特征值为

f(-1) = (-1)²+1 =2
f(1) = (1)²+1 = 2
f(2) = (2)²+1 =5

（2）同理可设f(A) =E+6A，求f(λ) = 1+6λ

（3）A为三阶矩阵，则λ1E-A也为三阶矩阵，设方程(λ1E-A)x = 0，由于其系数矩阵的秩为1，而未知数的个数为3，那么这个方程的基础解系有两个线性无关的解。于是λ1对应2个线性无关的特征向量。

我说的很详细吧