Question

y=∫x(sinx)∧4dx 对x定积分，x从0到π

Answer 1

解法如下：

 ∫e^(-sinx)sin(2x)dx/[sin(π/4-x/2)]^4

=∫e^(-sinx)sin(2x)dx/[sin²(π/4-x/2)]²

=8∫e^(-t)tdt/(1-t)² (令t=sinx)

=8∫e^(-t)[1/(1-t)²-1/(1-t)]dt

=8[∫e^(-t)dt/(1-t)²-∫e^(-t)dt/(1-t)]

=8{∫e^(-t)dt/(1-t)²-[-e^(-t)/(1-t)+∫e^(-t)dt/(1-t)²]}+C (应用分部积分法，C是任意常数)

=8e^(-t)/(1-t)+C

=8e^(-sinx)/(1-sinx)+C

求函数积分的方法：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

Answer 2

利用三角恒等式和分部积分
∫x(sinx)^4dx
= (3/8)∫xdx - (1/2)∫x*cos(2x)dx + (1/8)∫x*cos(4x)dx
= (3/16)x^2 - (1/2)*(1/2)[x*sin(2x)-∫sins(2x)dx] + (1/8)*(1/4)[x*sin(4x)-∫sin(4x)dx]
= (3/16)*x^2 - (1/4)x*sin(2x)-(1/8)*cos(2x) + (1/32)x*sin(4x)+(1/123)*cos(4x) + C
于是
y=∫x(sinx)∧4dx 对x定积分，x从0到π
= (3/16)*x^2 - (1/4)x*sin(2x)-(1/8)*cos(2x) + (1/32)x*sin(4x)+(1/123)*cos(4x) |_0^π
= (3/16)*π^2