Question

证明方程x的四次方-3x的二次方+7x=10在（1，2）内至少有一个实根

生产一种商品，固定成本为10 万元，，每生产1屯成本增加5万元，已知生产x屯的边际收入是65-2x万元，试求：1总成本函数 2, 总收入函数 3,当产量为多少屯时，总利润最大？最大利润是多少万元？

Answer 1

令 f(x) = x^4 - 2x² + 7x - 10 ，则

f(1) = 1 - 2 + 7 - 10 = -4 < 0
f(2) = 16 - 8 + 14 - 10 = 12 > 0

因为函数f(x)在(1 ,2)上连续
所以在(1 ,2)至少存在一个点使 f(x) = 0
所以方程 x^4 - 2x² + 7x - 10 = 0 在（1，2）内至少有一个实根
即 方程 x^4 - 2x² + 7x = 10 在（1，2）内至少有一个实根

Answer 2

令f(x)=x^4-3x²+7x-10
f(1)<0
f(2)>0
异号
且f(x)在(1,2)连续
所以f(x)和x轴在(1,2)一定有交点
即x^4-3x²+7x-10=0在(1,2)有解
所以x^4-3x²+7x=10在(1,2)有解

Answer 3

设 F(x)=x的四次方-3x²+7x-10
因为x的四次方-3x²+7x=10 所以F(x)=0
当x=1时 F(1)=1-3+7-10=-5
当x=2时 F(2)=16-12+14-10=8
得 F(1)＜0 F(2)＞0 所以F(x)在（1，2）内有值等于0
所以x的四次方-3x²+7x=10（1，2）内至少有一个实根