Question

如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按

如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． （1）当t= s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）2.5  （2）t=2.8s或t=（-14+2 ）s  （3）不存在，理由见解析

解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF， 即：10-t=3t， 解得t=2.5； （2）分两种情况，讨论如下： ①若△EBF∽△FCG， 则有 ，即 ， 解得：t=2.8； ②若△EBF∽△GCF， 则有 ，即 ， 解得：t=-14-2 （不合题意，舍去）或t=-14+2 ． ∴当t=2.8s或t=（-14+2 ）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似． （3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合． 如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM= BC-BF=6-3t，OM=5， 由勾股定理得：OM 2 +FM 2 =OF 2 ， 即：5 2 +（6-3t） 2 =（3t） 2 解得：t= ； 过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6， 由勾股定理得：ON 2 +EN 2 =OE 2 ， 即：6 2 +（5-t） 2 =（10-t） 2 解得：t=3.9． ∵ ≠3.9， ∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．