Question

已知 tan(α-β)= 1 2 ， tanβ=- 1 7 ，且α，β∈（0，π），求2α-β的值

已知 tan(α-β)= 1 2 ， tanβ=- 1 7 ，且α，β∈（0，π），求2α-β的值．

Answer 1

∵2α-β=2（α-β）+β，…（2分） 又 tan(α-β)= 1 2 ，∴ tan2(α-β)= 2tan(α-β) 1- tan 2 (α-β) = 4 3 …（4分） 故 tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]= tan2(α-β)+tanβ 1-tan2(α-β)tanβ = 4 3 - 1 7 1+ 4 3 × 1 7 =1 ．…（6分） 又∵ tanα=tan[(α-β)+β]= tan(α-β)+tanβ 1-tan(α-β)+tanβ = 1 3 ＜1 ，…（7分） 且0＜α＜π，∴ 0＜α＜ π 4 ，∴ 0＜2α＜ π 2 ．                           …（9分） 又 tanβ=- 1 7 ，且β∈（0，π） ?β∈( π 2 ，π) ?-β∈(-π，- π 2 ) ．         …（11分） ∴2α-β∈（-π，0）．又tan（2α-β）=1，∴ 2α-β=- 3π 4 ．           …（13分）