Question

已知点F1，F2为双曲线C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点

已知点F1，F2为双曲线C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF1F2=30°，圆O的方程为x2+y2=b2．（1）求双曲线C的方程；（2）过圆O上任意一点Q（x0，y0）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|；（3）过双曲线C上一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2，求PP1?PP2的值．

Answer 1

（1）解：设F₂，M的坐标分别为（

1+b2

，0），（

1+b2

，y0）（y₀＞0）-------------------（1分）
因为点M在双曲线C上，所以1+b²-

y02

b2

=1，即y0＝b2，所以|MF₂|=b²------------（2分）
在直角△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF₂|=b²，所以|MF₁|=2b²------------（3分）
由双曲线的定义可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2
故双曲线C的方程为：x2?

y2

2

＝1-------------------（4分）
（2）证明：①当切线l的斜率存在
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线l的方程为：y=kx+n（k≠±

2

）
代入双曲线C中，化简得：（2-k²）x²-2knx-（n²+2）=0
所以|AB|=

1+k2

|x1?x2|=

1+k2

×

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