Question

假设A，B都是非零矩阵且AB=O，则正确的命题是（　　）A．A的行向量组线性相关B．B的行向量组线性相关C．A

假设A，B都是非零矩阵且AB=O，则正确的命题是（　　）A．A的行向量组线性相关B．B的行向量组线性相关C．A，B的行向量组都线性相关D．A，B的列向量组都线性相关

Answer 1

不妨设A_m×s=（α₁，α₂，…，α_s），B_s×n=(β1，β2，…，βs)T，
方法一：
由AB=0，知
B的每一列都是Ax=0的解，且有非零解（假设A中列数大于行数）
∴r（A）＜s
因此A的列向量必相关，
两边取转置B^TA^T=0
同理B^T的列向量相关
即B的行向量相关
方法二：由AB=0，知
（α₁，α₂，…，α_s）B=0
由于B是非0矩阵，所以矩阵B至少有一列的元素不全为零，那么
A_m×s=（α₁，α₂，…，α_s）乘以这一列等于零
∴A的列向量组线性相关
同理A为非零矩阵，所以矩阵A至少有一行的元素不全为零，
∴A的这一行乘以B的行矩阵等于零
∴B的行向量线性相关
故选：B．