Question

如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．（1）求证：AE=CD；（2）如图2，

如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．（1）求证：AE=CD；（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC和△BDE分别是等边三角形， ∴AB=CB，BE=BD， ∴∠ABC=∠DBE=60°，（1分） ∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE， 即∠ABE=∠CBD，（2分） 在△ABE和△CBD中， AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD ， ∴△ABE≌△CBD（SAS），（3分） ∴AE=CD．（4分） （2）△PBQ是等边三角形． 证明如下：（1分） 由（1）证明可知：△ABE≌△CBD， ∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，（5分） ∵点P、Q分别是AE、CD的中点， ∴AP= 1 2 AE，CQ= 1 2 CD， ∴AP=CQ，（6分） 在△ABP和△CBQ中， AB=CB ∠EAB=∠DCB AP=CQ ， ∴△ABP≌△CBQ（SAS），（7分） ∴∠PBA=∠QBC，PB=QB，（8分） ∴∠QBP=∠PBC+∠QBC=∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°， ∴△PBQ是等边三角形．（9分）