Question

已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1=1（a＞b＞0），点P为其上一

已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1=1（a＞b＞0），点P为其上一点，F 1 、F 2 为椭圆的焦点，∠F 1 PF 2 的外角平分线为l，点F 2 关于l的对称点为Q，F 2 Q交l于点R．（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+ 2 a）与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值．

Answer 1

（1）∵点F 2 关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F 2 PR=∠QPR，|F 2 R|=|QR|，|PQ|=|PF 2 | 又因为l为∠F 1 PF 2 外角的平分线，故点F 1 、P、Q在同一直线上，设存在R（x 0 ，y 0 ），Q（x 1 ，y 1 ），F 1 （-c，0），F 2 （c，0）． |F 1 Q|=|F 1 P|+|PQ|=|F 1 P|+|PF 2 |=2a，则（x 1 +c） 2 +y 1 2 =（2a） 2 ． 又x 1 =2x 0 -c，y 1 =2y 0 ． ∴（2x 0 ） 2 +（2y 0 ） 2 =（2a） 2 ，∴x 0 2 +y 0 2 =a 2 ． 故R的轨迹方程为：x 2 +y 2 =a 2 （y≠0） （2）∵S △AOB = 1 2 |OA|?|OB|?sinAOB= a 2 2 sinAOB 当∠AOB=90°时，S △AOB 最大值为 1 2 a 2 ．   此时弦心距|OC|= 2 ak 1+ k 2 ． 在Rt△AOC中，∠AOC=45°， OC OA =   2 ak a 1+ k 2 =cos 45 0 = 2 2 ，∴ k=± 3 3