Question

已知关于x的二次方程x 2 +2mx+2m+1=0．（Ⅰ）若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1

已知关于x的二次方程x 2 +2mx+2m+1=0．（Ⅰ）若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围．（Ⅱ）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设f（x）=x 2 +2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x 2 +2mx+2m+1与x轴的交点分别在 区间（-1，0）和（1，2）内，则 f(0)=2m+1＜0 f(-1)=2＞0 f(1)=4m+2＜0 f(2)=6m+5＞0 ，可得 m＜- 1 2 m∈R m＜- 1 2 m＞- 5 6 ． 解得 - 5 6 ＜m＜- 1 2 ， ∴m 的取值范围为 (- 5 6 ，- 1 2 ) ． （Ⅱ）若抛物线与x轴交点均落在区间（0，1）内，则有 f(0)＞0 f(1)＞0 △≥0 0＜-m＜1. ，即 m＞- 1 2 m＞- 1 2 m≥1+ 2 或m≤1- 2 -1＜m＜0 ，解得 - 1 2 ＜m≤1- 2 ， 故m的取值范围为 (- 1 2 ，1- 2 ] ．