Question

[x]表示不超过实数x的最大整数，令x=x-[x]（1）找出一个实数x，满足{x}+{1x}=1（2）证明：满足上述等式的

[x]表示不超过实数x的最大整数，令x=x-[x]（1）找出一个实数x，满足{x}+{1x}=1（2）证明：满足上述等式的x，都不是有理数．

Answer 1

解法1：（1）设x=m+α，

1

x

=n+β(m，n为整数，0≤α，β＜1），
若{x}+{

1

x

}=α+β=1
所以x+

1

x

=m+α+n+β=m+n+1是整数．
令x+

1

x

=k(为整数)，
即x²-kx+1=0，
解得x=

1

2

(k±

k2-4

)．
当|k|=2时，|x|=1易验证它不满足所设等式．
当|k|≥3时，x=

1

2

(k±

k2-4

)是满足等式的全体实数．
（2）由于k²-4不是完全平方数（事实上，若k²-4=h²则k²-h²=4但当|k|≥3时，
两个平方数之差不小于5）．
所以x是无理数，即满足题设等式的x，都不是有理数．
解法2：
（1）取x=

1

2

(3+

5

)或x=

1

2

(3-

5

)
（2）用反证法证明之．
反设满足等式之x为有理数．
①若x为整数，则{x}=0，代入等式得{

1

x

}=1，与0≤{

1

x

}＜1矛盾．
②若x为非整数的有理数．
令x=n+

q

p

（其中n，p，q均为整数1．≤q≤p且（q，p）=1）
则

1

x

=x+

r

np+q

（其中s，r为整数当n≥0时0≤r＜np+q当n≤-1时，np+q＜r≤0）
{

1

x

}=

r

np+q

若x满足等式，即

q

p

+

r

np+q

=1
即q（np+q）+pr=p（np+q）．
从而得q²=p[np+（1-n）q-r]．
即p整除q²，与（p，q）=1矛盾．
故满足等式x都不是有理数．