如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：△PBC是直角三
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：△PBC是直角三角形；（2）若PA=AB=2，且当直线PC与平面ABC所成角...
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：△PBC是直角三角形；（2）若PA=AB=2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为2时，直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
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（1）证明：∵C在圆O上，∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面
ABC，∴BC⊥PA，
∵PC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．
（2）解：如图，过A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC，则∠ABH就是要求的角．…（8分）
∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC与平面ABC所成角，…（9分）
∵tan∠PCA=
=
，又PC=2，∴AC=
．…（10分）
∴在Rt△PAC中，AH=
=
，…（11分）
∴在RtABH中，sin∠ABH=
=
，
故AC与平面PBC所成角正弦值为
∵PA⊥平面
ABC，∴BC⊥PA，∵PC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．
（2）解：如图，过A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC，则∠ABH就是要求的角．…（8分）
∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC与平面ABC所成角，…（9分）
∵tan∠PCA=
| PA |
| AC |
| 2 |
| 2 |
∴在Rt△PAC中，AH=
| PA?AC | ||
|
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∴在RtABH中，sin∠ABH=
| ||||
| 2 |
| ||
| 3 |
故AC与平面PBC所成角正弦值为
|
