Question

△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB

△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°
∴∠NEC+∠MEB=135°
∴∠BME=∠NEC，（4分）
而∠B=∠C=45°，
∴△BEM∽△CNE．（6分）

（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，
∴

BE

CN

＝

EM

NE

．（8分）
又∵BE=EC，
∴

EC

CN

＝

EM

NE

，（10分）
则△ECN与△MEN中有

EC

CN

＝

ME

EN

，
又∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．（12分）