Question

已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R））．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a的值；

已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R））．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a的值；（2）求证：f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；（3）若a＜0，且对任意x1，x2∈（0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f'（x）=1-

a

x

，∴f'（1）=1-a
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为1-a
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，
∴1-a=3，解得a=-2
（2）①充分性
当a=1时，f（x）=x-1-lnx，f'（x）=1-

1

x

=

x?1

x

∴当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）上是减函数，
∴f（x）≥f（1）=0
②必要性
f'（x）=1-

a

x

=

x?a

x

，其中x＞0
（i）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
而f（1）=0，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜0，与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意．
（ii）当a＞0时，∵x＞a时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；
0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数；
∴f（x）≥f（a）=a-1-alna
∵f（1）=0，所以当a≠1时，f（a）＜f（1）=0，此时与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1
综上所述，f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；
（3）由（2）可知，
当a＜0时，函数f（x）在（0，1]上是增函数，又函数y=

1

x

在（0，1]上是减函数
不妨设0＜x₁≤x₂≤1
则|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|即f（x₂）+4×

1

x2

≤f（x₁）+4×

1

x1

设h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数
因为h'（x）=1-

a

x

-

4

x2

=

x2?ax?4

x2

，所以x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-

4

x

在（0，1]内的最大值．
而函数y=x-

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