Question

已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，若在区间[-1，3]内

已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有三个零点，则实数k的取值范围是（　　）A．(0，14)B．(0，12]C．(14，12)D．[14，13]

Answer 1

∵函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=f（x），
故f（x）是周期为2的周期函数．
∵f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，
故当x∈[-1，1]时，f（x）=x² ，
当x∈[1，3]时，f（x）=（x-2）²．
由于函数g（x）=f（x）-kx-k有3个零点，
故函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k=k（x+1）有3个交点，如图所示：
把点A（1，1）代入y=kx+k，可得k=

1

2

，
把点B（3，1）代入y=kx+k，可得k=

1

4

，
数形结合可得实数k的取值范围是(

1

4

，

1

2

)，
故选C．