Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx经过A（2，0），直线y=12x+m分别交x轴、y轴于点C、B，点D是抛

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx经过A（2，0），直线y=12x+m分别交x轴、y轴于点C、B，点D是抛物线上横坐标为m的点，作DE⊥x轴于E，DE所在的直线与直线y=12x+m交于点F．（1）求该抛物线解析式；（2）随着m的变化，试探究：①当m取何值时，点D和点F重合；②当1＜m＜2时，用含m的代数式表示DF的长度；（3）将DF绕D顺时针旋转90°得到DF′，连结E F′，是否存在△DE F′与△CEF相似？若有，请求出m的值；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+bx经过A（2，0），
∴-2²+2b=0，
解得b=2，
∴该抛物线解析式为y=-x²+2x；

（2）①∵y=-x²+2x，
∴当x=m时，y=-m²+2m，
即D点坐标为（m，-m²+2m），
∵y=

1

2

x+m，
∴当x=m时，y=

1

2

m+m=

3

2

m，
即F点坐标为（m，

3

2

m）．
∵点D和点F重合，
∴-m²+2m=

3

2

m，
解得m₁=0（不合题意，舍去），m₂=

1

2

；
综上所述，m的值是

1

2

；

②∵y=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴当1＜m＜2时，点F在点D的上方，
∴DF=EF-DE=

3

2

m-（-m²+2m）=m²-

1

2

m；

（3）存在m=

3

2

或m=1，使△DE F′与△CEF相似．
理由如下：令y=0，则

1

2

x+m=0，
解得x=-2m，
∴C（-2m，0），
∵点D的横坐标是m，
∴D（m，-m²+2m），F（m，

3

2

m），E（m，0），
∴CE=3m，EF=

3

2

m，DE=-m²+2m，DF′=DF=m²-

1

2

m，
∴

EF

CE

=

3 2 m

3m

=

1

2

，

DE

DF′

=

?m2+2m

m2? 1 2 m

=

?2m+4

2m?1

，
∵△DE F′与△CEF相似，
∴

?2m+4

2m?1

=

1

2

或

?2m+4

2m?1

=2，
解得m=

3

2

或m=1，
故，存在m=

3

2

或m=1，使△DE F′与△CEF相似．