Question

已知在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2+b2-6abcosC=0，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角

已知在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2+b2-6abcosC=0，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数f（x）=cos（ωx-2π3）-cosωx（ω＞0），且f（x）两个相邻的最低点之间的距离为π2，求f（A）的最大值．

Answer 1

（1）∵sin²C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c²=2ab，
由余弦定理有：a²+b²=c²+2abcosC=c²（1+cosC）①
又a²+b²=6abcosC=3c²cosC②
由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=

1

2

，
又0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）f（x）=cos（ωx-

2π

3

）-cosωx=sin（ωx-

π

6

）-cosωx=

3

sin（ωx-

π

3

）
∵f（x）图象上相邻两低点之间的距离为

π

2

，
∴T=

π

2

，
∴

2π

ω

=

π

2

，
∴ω=4，
∴f（x）=

3

sin（4x-

π

3

），
∴f（A）=

3

sin（4A-

π

3

），
∵C=

π

3

，∴

π

6

＜A＜

π

2

，∴

π

3

＜4A-

π

3

＜

5π

3

，
∴-1≤sin（4A-

π

3

）≤1，
∴-

3

≤f（A）≤

3

．