Question

已知：f（x）=（a-2）x2+2（a-2）x-4，（1）当x∈R时，恒有f（x）＜0，求a的取值范围；（2）当x∈[1，3）

已知：f（x）=（a-2）x2+2（a-2）x-4，（1）当x∈R时，恒有f（x）＜0，求a的取值范围；（2）当x∈[1，3）时，恒有f（x）＜0，求a的取值范围；（3）当x∈（1，3）时，恰有f（x）＜mx-7成立，求a，m的值．

Answer 1

（1）当a=2时，f（x）=-4＜0，故当x∈R时，恒有f（x）＜0，
当

a＜2 △＝4(a?2)2+16(a?2)＜0

??2＜a＜2，
综上所述a的取值范围（-2，2]．
（2）由（1）得a=2，成立，当a≠2，对称轴x=-1
∴

a?2＜0 f(1)＜0

或

a?2＞0 f(1)＜0 f(3)≤0

?a＜2或2＜a≤

34

15

∴综上所述a的取值范围（-∞，

34

15

]．
（3）∵f（x）＜mx-7，
∴f（x）-mx+7＜0，
即（a-2）x²+（2a-4-m）x+3＜0，
令g（x）=（a-2）x²+（2a-4-m）x+3＜0
∵x∈（1，3）时，恰有f（x）＜mx-7成立
∴

a＞2 g(1)＝0 g(3)＝0

?

a＞2 3a?m＝3 5a?m＝9

?

a＝3 m＝6

．
故a=3，m=6．