Question

（2012?商丘二模）如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的

（2012?商丘二模）如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E．（Ⅰ）求证：DC是⊙O的切线；（Ⅱ）若EB=6，EC=62，求BC的长．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵⊙O是以AB为直径的圆，∠ACB=90°，∴点C在⊙O上，连接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，∴OC∥AD，
又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC，∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．
（Ⅱ）解：∵DC是⊙O的切线，∴EC²=EB?EA，又∵EB=6，EC=6

2

，∴EA=12．
∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴

BC

AC

＝

EC

EA

＝

2

2

，AC=

2

BC，
∵AC²+BC²=AB²=36，∴BC=2

3