Question

已知函数f(x)＝cos(2x?π3)+2sin(x?π4)sin(x+π4)．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程

已知函数f(x)＝cos(2x?π3)+2sin(x?π4)sin(x+π4)．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[?π12，π2]上的值域．

Answer 1

（1）∵f(x)＝cos(2x?

π

3

)+2sin(x?

π

4

)sin(x+

π

4

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x?cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x?cos2x
=sin(2x?

π

6

)
∴周期T=

2π

2

＝π
由2x?

π

6

＝kπ+

π

2

(k∈Z)，得x＝

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
∴函数图象的对称轴方程为x＝

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)

（2）∵x∈[?

π

12

，

π

2

]，∴2x?

π

6

∈[?

π

3

，

5π

6

]，
因为f(x)＝sin(2x?

π

6

)在区间[?

π

12

，

π

3

]上单调递增，在区间[

π

3

，

π

2

]上单调递减，
所以当x＝

π

3

时，f（x）取最大值1，
又∵f(?

π

12

)＝?

3

2

＜f(

π

2

)＝

1

2

，当x＝?

π

12

时，f（x）取最小值?

3

2

，
所以函数f（x）在区间[?

π

12

，

π

2

]上的值域为[?

3

2

，1]．